TEOREMA
RECIPROCITETA
Kod rješavanja stanja u
linearnim električnim kolima cilj je da se primjenom različitih metoda uprosti
i skrati matematički postupak i odrede struje u granama električnog kola.
Teorema reciprociteta (teorema
uzajamnosti) predstavlja veoma važnu i korisnu metodu koja se primjenjuje samo
na linearna električna kola i to ona koja sadrže jedan izvor elektromotorne
sile.
Posmatrajmo električno kolo dato
na Slici 1. koje se sastoji od izvora elektromotorne sile (idealan generator) Ek
i potrošača otpornih elemenata koji čine pasivni dio električnog kola.
Pošto su u pitanju samo dvije grane uvijek je moguće izabrati nezavisne konture
tako da grana k pripadne samo konturi
k, a grana m samo konturi .
Na Slici 1. uočavaju se dvije
karakteristične grane a-b (k) u kojoj
djeluje elektromotorna sila. Ek
i grana c-d (m) kroz koji teče
struja Im koju je izazvala
ova elektromotorna sila. Ako se predpostavi da su grane k i m električnog kola
nezavisne i da kroz njih teku konturne struje, tada je struja u grani m jednaka:
(1)
Ako
se razmatra inverzno kolo u kome u grani m
djeluje elektromotorna sila Em,
u grani k ona će izazvati struju
jednaku:
(2)
U
ovim jednačinama
Ek, Em – predstavlja izvor
elektromotorne sile k-te, odnosno m-te grane (u konturi k, odnosno m djeluje elektromotorna sila Ek,
odnosno Em u
grani k, odnosno m),
D –
detreminanta sistema,
Dkm, Dmk – kofaktori elemenata
determinante sistema.
Odnosi:
(3)
(4)
nazivaju
se transkonduktansa, a jednačine (3)
i (4) mogu se pisati u obliku:
(5)
(6)
Detemirnante
D
u jednačinama (1) i (2) su jednake, jer se odnose na isto električno
kolo i isti sistem nezavisnih kontura. Lako se može pokazati da su vrste
determinante kofaktora Dkm
iste kao kolone kofaktora Dmk
i obrnuto, što znači da obje determinante imaju istu vrijednost, pa
vrijedi:
(7)
Dijeljenjem jednačina (1) i (2),
odnosno (4) i (5) dobija se:
(8)
što
definiše teoremu reciprociteta u
matematičkom obliku. Ako se ista elektromotorna sila premjesti iz grane k u granu m, tj. Ek=Em
slijedi i jednakost struja u granama k
i i:
(9)
Na
osnovu ovoga može se zaključiti:
Ukoliko elektromotorna sila koja
djeluje u nekoj grani električnog kola prouzrokuje u nekoj drugoj grani
odgovarajuću struju, isat ta elektromotorna sila ako se premjesti u tu drugu
granu, prouzrokovaće kroz prvu granu struju iste jačine.
Za
ilustraciju, za električno kolo prikazano na Slici 2. provjerićemo tvrdnju
teoreme reciprociteta.
U
grani sa otpornikom R1
uključen je idealan naponski generator elektromotorne sile E. Jačina struje kroz granu sa otpornikom R3 (Slika 2a) jednaka je:
(10)
Ako
elektromotornu silu E prebacimo u
granu sa otpornikom R3,
jačina struje kroz granu sa otpornikom R1
(Slika 2.b), jednakka je:
(11)
Iz
jednačina (10) i (11) lako se može zaključiti njihova jednakost, pa možemo
pisati:
(12)
čime je teorema reciprociteta dokazana.
1. U
kakvim električnim kolima se primjenjuje teorema reciprociteta?
2. Kako
se biraju nezavisne konture električnog kola?
3. Može
li se teorema reciprociteta primjeniti za električna kola koja sadrže
nelinearne otpornike?
4. Objasniti
teoremu reciprociteta.
5. Šta
je transkonduktansa?
6. Definisati
teoremu reciprociteta.
7. U
električnom kolu prikazanom na Slici 1. odrediti struju kroz granu sa
otpornikom R4. Poznato je:
8. Na
primjeru električnog kola prikazanoga na Slici 2. dokazati teoremu
reciprociteta. Izračunati struju kroz granu sa otpornikom R4, a zatim struju kroz granu sa otpornikom R1 kada se elektromotorna
sila E prebaci u granu sa otpornikom R4..
Poznato
je:
9. Električni
otpori povezani su u zvijezdu (Slika 3.). Ako se između tačaka a i b prvo uključi elektromotorna sila E, a krajevi c i d kratko spoje, a
nakon toga elektromotorna sila priključi između c i d, a krajevi a i b
kratko spoje, dokazati teoremu reciprociteta.
10. Primjenom
teoreme reciprociteta odrediti struju u grani sa otporom R u električnom kolu prikazanom na Slici 4.
11. Odrediti
struju u grani sa otpornikom R5 u
električnom kolu datom na Slici 5. primjenom teoreme reciprociteta.
Poznato
je:
1. U
linearnim električnim kolima i to onima sa jednim izvorom ems.
2. Preko
nezavisnih grana.
3. Ne.
4. Vidjeti
uvod.
5. Jednčine
(3) i (4).
6. Definicija
poslije jednačine (9).
7.
8. .
10. .
11.