TEOREMA RECIPROCITETA

 

 

Kod rješavanja stanja u linearnim električnim kolima cilj je da se primjenom različitih metoda uprosti i skrati matematički postupak i odrede struje u granama električnog kola.

Teorema reciprociteta (teorema uzajamnosti) predstavlja veoma važnu i korisnu metodu koja se primjenjuje samo na linearna električna kola i to ona koja sadrže jedan izvor elektromotorne sile.

Posmatrajmo električno kolo dato na Slici 1. koje se sastoji od izvora elektromotorne sile (idealan generator) Ek i potrošača otpornih elemenata koji čine pasivni dio električnog kola. Pošto su u pitanju samo dvije grane uvijek je moguće izabrati nezavisne konture tako da grana k pripadne samo konturi k, a grana m samo konturi .

 

 

Na Slici 1. uočavaju se dvije karakteristične grane a-b (k) u kojoj djeluje elektromotorna sila. Ek i grana c-d (m) kroz koji teče struja Im koju je izazvala ova elektromotorna sila. Ako se predpostavi da su grane k i m električnog kola nezavisne i da kroz njih teku konturne struje, tada je struja u grani m jednaka:

 

                                                                                                         (1)

 

Ako se razmatra inverzno kolo u kome u grani m djeluje elektromotorna sila Em, u grani k ona će izazvati struju jednaku:

 

                                                                                                         (2)

 

U ovim jednačinama

Ek, Em – predstavlja izvor elektromotorne sile k-te, odnosno m-te grane (u konturi k, odnosno m djeluje elektromotorna sila Ek, odnosno Em u grani k, odnosno m),

D – detreminanta sistema,

Dkm, Dmk – kofaktori elemenata determinante sistema.

Odnosi:

 

                                                                                                             (3)

 

                                                                                                            (4)

 

nazivaju se transkonduktansa, a jednačine (3) i (4) mogu se pisati u obliku:

 

                                                                                                          (5)

 

                                                                                                            (6)

 

Detemirnante D  u jednačinama (1) i (2) su jednake, jer se odnose na isto električno kolo i isti sistem nezavisnih kontura. Lako se može pokazati da su vrste determinante kofaktora Dkm iste kao kolone kofaktora Dmk i obrnuto, što znači da obje determinante imaju istu vrijednost, pa vrijedi:

 

                                                                                                             (7)

 

Dijeljenjem jednačina (1) i (2), odnosno (4) i (5) dobija se:

 

                                                                                                               (8)

 

što definiše teoremu reciprociteta u matematičkom obliku. Ako se ista elektromotorna sila premjesti iz grane k u granu m, tj. Ek=Em slijedi i jednakost struja u granama k i i:

 

                                                                                                                  (9)

 

Na osnovu ovoga može se zaključiti:

Ukoliko elektromotorna sila koja djeluje u nekoj grani električnog kola prouzrokuje u nekoj drugoj grani odgovarajuću struju, isat ta elektromotorna sila ako se premjesti u tu drugu granu, prouzrokovaće kroz prvu granu struju iste jačine.

Za ilustraciju, za električno kolo prikazano na Slici 2. provjerićemo tvrdnju teoreme reciprociteta.

 

 

 

 

U grani sa otpornikom R1 uključen je idealan naponski generator elektromotorne sile E. Jačina struje kroz granu sa otpornikom R3 (Slika 2a) jednaka je:

 

                                            (10)

 

Ako elektromotornu silu E prebacimo u granu sa otpornikom R3, jačina struje kroz granu sa otpornikom R1 (Slika 2.b), jednakka je:

 

                                            (11)

 

Iz jednačina (10) i (11) lako se može zaključiti njihova jednakost, pa možemo pisati:

 

                                                                                                                 (12)

 

čime je teorema reciprociteta dokazana.

 

 

 

Pitanja i zadaci za vježbu

 

 

 

1.       U kakvim električnim kolima se primjenjuje teorema reciprociteta?

 

2.       Kako se biraju nezavisne konture električnog kola?

 

3.       Može li se teorema reciprociteta primjeniti za električna kola koja sadrže nelinearne otpornike?

 

4.       Objasniti teoremu reciprociteta.

 

5.       Šta je transkonduktansa?

 

6.       Definisati teoremu reciprociteta.

 

7.       U električnom kolu prikazanom na Slici 1. odrediti struju kroz granu sa otpornikom R4. Poznato je:

 

 

 

8.       Na primjeru električnog kola prikazanoga na Slici 2. dokazati teoremu reciprociteta. Izračunati struju kroz granu sa otpornikom R4, a zatim struju kroz granu sa otpornikom R1 kada se elektromotorna sila E prebaci u granu sa otpornikom R4..

Poznato je:

 

 

9.       Električni otpori povezani su u zvijezdu (Slika 3.). Ako se između tačaka a i b  prvo uključi elektromotorna sila E, a krajevi c i d kratko spoje, a nakon toga elektromotorna sila priključi između c i d, a krajevi a i b kratko spoje, dokazati teoremu reciprociteta.

 

 

10.   Primjenom teoreme reciprociteta odrediti struju u grani sa otporom R u električnom kolu prikazanom na Slici 4.

 

 

 

 

11.   Odrediti struju u grani sa otpornikom R5 u električnom kolu datom na Slici 5. primjenom teoreme reciprociteta.

Poznato je:

 

 

 

 

Odgovori na pitanja i rezultati zadataka za vježbu

       

 

 

1.       U linearnim električnim kolima i to onima sa jednim  izvorom ems.

 

2.       Preko nezavisnih grana.

 

3.       Ne.

 

4.       Vidjeti uvod.

 

5.       Jednčine (3) i (4).

 

6.       Definicija poslije jednačine (9).

 

7.      

 

8.       .

 

10.   .

 

11.