SERIJSKO RL KOLO

 

Električno kolo koje čini serijska veza elemenata R i L se vrlo često susreće u praksi, te je zbog toga vrlo važno proučiti njegovo ponašanje kada je izloženo dejstvu izvora elektromotorne sile, čija  se učestanost može mijenjati.

 

 

 

Za serijsku vezu elemenata električnog kola karakteristično je da ista struja protiče kroz sve elemente (Slika 1.). Na osnovu podataka moguće je napisati izraz za trenutnu vrijednost struje, uvažavajući vezu između maksimalne i efektivne vrijednosti prostoperiodične veličine:

 

 

Primjenom drugog Kirhofovog zakona, trenutna vrijednost napona izvora je jednaka sumi  trenutnih vrijednosti napona na krajevima pojedinih elemenata električnog kola:

 

                                                                                                  (1)

 

Naponi na krajevima pojedinih elemenata električnog kola se određuju na slijedeći način:

 

- napon na krajevima otpornika otpornosti R:

 

 

- napon na krajevima zavojnice induktivnosti L:

 

 

Iz izraza za napone na krajevima pojedinih elemenata električnog kola može se uočiti da su napon na krajevima otpornika otpornosti R i struja kroz njega iste početne faze, odnosno da promjena napona odgovara promjeni struje.  Napon na krajevima zavojnice induktivnosti L prednjači struji kroz zavojnicu za ugao p/2.

Ovo su vrlo važni zaključci. Napon između krajeva otpornika ili zavojnice kroz koji postoji prostoperiodična struja također je prostoperiodičan, a važi i obrnuto.

 

Odavde proizilazi da će naponi i struje u nekom električnom kolu koje se sastoji od otpornika, induktivnih zavojnica i izvora prostoperiodičnih elektromotornih sila  i struje iste učestanosti biti isto tako prostoperiodični. Ovaj zaključak omogućava lakše rješavanje električnih kola u kojima djeluju generatori prostoperiodičnih elektromotornih sila i struje.

 

 

 

Kako se promjena napona izvora može predstaviti opštim izrazom:

 

 

onda se jednačina naponske ravnoteže (1) za posmatrano električno kolo može napisati kao:

 

 

Koristeći adicionu formulu za sumu dvije trigonometrijske funkcije:

 

                                                            (2)

 

može se odrediti trenutna vrijednost napona izvora:

 

                                              (3)

 

U jednačini  (3) moguće je definisati slijedeće veličine:

 

- reaktivna (induktivna) otpornost

 

 

- ukupna prividna otpornost električnog kola, impedansa:

           

 

 

Izjednačavanjem lijeve i desne strane jednačine  (3) definiše se i

 

- maksimalna vrijednost napona izvora

 

 

- početna faza napona

 

 

Vremenski dijagram promjenljivih veličina struje čiji je početni fazni stav jednak p/2 i napona prikazan je na Slici 2.

 

 

Trenutna snaga je izražena relacijom:

 

                                                                                                           

 

 Trenutna vrijednost snage na otporniku otpornosti R:

 

 

Trenutna vrijednost snage na zavojnici induktivnosti L:

 

 

 

 

Snaga koja se razvija na otporniku otpornosti R je uvijek pozitivna. Fizikalno, to znači da se u svim intervalima vremena energija dovodi otporniku i da se pretvara u toplotu. Ni jednim dijelom se ta toplotna energija ne pretvara ponovo u električnu, nego se nepovratno troši u otporniku. Iz ovih razloga se za otpornik kaže da je aktivni prijemnik, ili jednostavno aktivni otpornik.

 

U slučaju zavojnice koja je priključena na prostoperiodični napon, intenzitet struje kroz zavojnicu se stalno mijenja. U intervalima vremena u kojima intenzitet struje raste (bez obzira na smjer) energija se dovodi zavojnici, a kada intenzitet struje opada energija se vraća izvoru napajanja na koji je zavojnica priključena. Znači, energija se periodično privremeno deponuje u zavojnici, a nešto kasnije se u potpunosti vraća izvoru napajanja. Zbog ovoga se kaže da je zavojnica reaktivni prijemnik.

 

 

Vremenski dijagram razvijenih snaga na pojedinim elementima prikazan je na Slici 3.

 

 

 

Prostoperiodična funkcija proizvoljne početne faze može se dobiti kao projekcija obrtne duži čija je dužina proporcionalna amplitudi funkcije i koja se oko koordinatnog početka obrće ugaonom brzinom jednakoj ugaonoj učestanosti funkcije.

 

 

Već je rečeno  da se u električnom kolu u kojem su priključeni prostoperiodični generatori iste učestanosti, svi naponi i struje prostoperiodični, iste te učestanosti. Prema tome, za potpuno definisanje napona i struja potrebno je znati njihovu amplitudu i njihovu početnu fazu.

 

Trenutne vrijednosti napona i struja u nekom električnom kolu mogu se dobiti ako se predstave pomoću obrtnih vektora (na Slici 4.) i ako se izvrši njihova projekcija na x-osu (faznu osu, referentnu osu). S obzirom da se svi ti vektori obrću istom ugaonom brzinom, jer su svi naponi i struje iste učestanosti, međusobni položaj obrtnih vektora u toku vremena se ne mijenja. Zbog toga njihov položaj u trenutku t=0 sadrži u sebi sve podatke: njihove amplitude, početne faze i fazne razlike između pojedinih veličina.

 

Sabiranjem i oduzimanjem ovih vektora u bilo kojem trenutku vrši se na isti način kao sabiranje i oduzimanje vektora u ravni, prema pravilu paralelograma.

 

Tako se, pored predstavljanja prostoperiodičnih napona i struja, mogu, vektorskim sabiranjem, riješiti i neki jednostavniji primjeri električnih kola.

 

U praksi se često, u vektorskom dijagramu crtaju vektori proporcionalni efektivnim vrijednostima, a ne amplitudama napona i struje.

 

Na Slici 5., prikazan je fazorski dijagram struje i napona.

 

 

 

 

Korištenjem simboličkog metoda može se na jednostavan način izvršiti proračuna stanja u nekom električnom kolu. Primjenom simboličkog metoda na primjeru analiziranog  serijskog RL kola dobijaju kompleksne efektivne vrijednosti napona i struje:

 

 

Tada se za dato kolo može napisati jednačina ravnoteže u kompleksnom obliku:

 

 

odnosno:

 

                                                                            (4)

 

gdje je kompleksna impedansa:

 

                                                                                              (5)

 

Moduo impedanse je:

 

                                                                                                    (6)

 

Efektivna vrijednost struje kroz kolo je:

 

                                                                                             (7)

 

dok je kompleksna efektivna vrijednost struje:

 

                                                                        (8)

 

odakle slijedi poznata veza argumenata:

 

                                                                                                               (6)

 

gdje je φ argument impedanse

 

                                                                                                (7)

 

Ovaj ugao diktira fazni pomak struje kroz kolo, pri određenom faznom pomaku napona izvora. Za čisto induktivno kolo iznos argumenta φ je .

 

Za realno električno kolo (serijsko RL kolo), prisutne su i aktivne i reaktivne komponente, te postoji i prisutnost obiju energetskih tendencija, od nepovratnog karaktera (čisto aktivno kolo) do reverzibilnog karaktera (reaktivno kolo).

 

Srednja snaga, odnosno aktivna snaga:

 

                                                                                                            (8)

 

Veličina cosφ se naziva faktorom snage, te je očigledna tendencija da ovaj faktor bude po mogućnosti jednk jedinici.

Reaktivna snaga koja se razvija u električnom kolu je:

 

                                                                                                           (9)

 

Proizvod kompleksne efektivne vrijednosti napona i konjugovano kompleksne efektivne vrijednosti struje daje kompleksnu predstavu ukupne snage u kolu, poznate pod nazivom kompleksna snaga:

 

                                                                                                  (10)

 

Dakle, aktivna snaga jednaka je realnom dijelu komplksne snage:

 

                                                                                              (11)

 

a reaktivna snaga je jednaka imaginarnom dijelu kompleksne snage:

 

                                                                                               (12)

 

Jednačina koja povezuje ukupnu, aktivnu i reaktivnu snagu u nekom električnom kolu jednaka je modulu kompleksne snage:

 

                                                                                                      (13)

 

i naziva se prividna snaga.

 

 

 

 

 

 

 

Pitanja za vježbu

 

1.       Šta karaktriše električno kolo naizmjenične struje sa induktivnim kalemom?

 

2.       Kako se izražava efektivna vrijednost struje u serijskom RL kolu naizmejenične struje?

 

 

3.       Šta određuje argument impedanse φ i koliko iznosi za čisto induktivno električno kolo naizmjenične struje?

 

 

4.       Objasniti pojam faktor snage!

 

 

5.       Koliki je iznos srednje vrijednosti snage u električnom kolu naizmjenične struje sa čisto induktivnim kalemom?

 

 

 

Odgovori na pitanja

 

1.       Električno kolo naizmjenične struje sa induktivnim kalemom karakteriše energetski proces u kojem neam gubitaka energije, a struja fazno zaostaje za naponom na krajevima iduktivnog kalema za ugao

 

 

2.        

 

 

 

 

3.        

Ovaj ugao diktira fazni pomak struje kroz kolo, pri određenom faznom pomaku napona izvora.

Za čisto induktivno kolo iznos argumenta φ je .

 

 

4.       Veličina cosφ se naziva faktorom snage, te je očigledna tendencija da ovaj faktor bude po mogućnosti jednk jedinici. Što je veći iznos faktora snage to je i struja kroz potrošač manja. Za isti prenos energije do potrošača treba obezbijediti što manju vrijednost električne struje. Razlozi za ovo su u činjenici da su i unutar generatora i kroz prenosni sistem Džulovi gubici proporcionalni kvadratu snage. Imperativ je ostvarivanje što većeg koeficjenta korisnog dejstva, pa se gubici energije moraju svesti na najmanju mjeru.

 

5.       Srednja snaga jednaka je nuli, što znači da se u kalemu ne odigravaju aktivni procesi, tj. nema nepovratnog pretvaranja električne energije u toplotnu.